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案例2 中学数学学科教学案例（第2页）

（一）创设问题情境，激活已有认知结构

探究活动如图4。2。1，点F1是平面内的定点，圆F1的半径为定长2a，F2是圆F1内一个定点，|F1F2|=2c（c＞0），c为常数，P是圆上任意一点。过线段F2P的中点H作线段F2P的垂直平分线l交直线F1P于点M，当点P在圆F1上运动时，请思考、探究下列问题。

问题1猜想点H的轨迹是什么？证明你的猜想。

问题2如何求点H轨迹的标准方程？

图4。2。1

图4。2。2

图4。2。3

图4。2。4

学生1当点P在圆F1上运动时，点H的轨迹是圆。

教师追问你能确定圆心的位置吗？

学生1如图4。2。2，因为F1，F2是定点，所以线段F1F2是定线段，线段F1F2的中点O也是定点。

学生1给出问题1证明1如图4。2。3，连接F1F2，取F1F2的中点O，连接OH，

所以平面内动点H到定点O的距离等于定长a。（圆上的点所满足的几何条件）

所以点H的轨迹是圆。

教师追问还有其他解法吗？

学生2给出问题1证明2以经过两定点F1，F2的直线为x轴，以定点F1为原点，建立平面直角坐标系xOy，则F1（0，0），F2（2c，0），圆F1的方程为x2+y2=4a2，设P（x1，y1），H（x，y），

所以，点H的轨迹是以（c，0）为圆心，以a为半径的圆。

教师如图4。2。4，

（1）以经过两定点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy。设H（x，y）是圆上的任意一点。

（2）由圆的定义，圆就是集合P={H||HO|=a。

（4）将上式两边平方，得x2+y2=a2。

①

（5）从上述过程可以看到，圆上任意一点的坐标都满足方程①，以方程①的解（x，y）为坐标的点到圆心O的距离为a，即以方程①的解为坐标的点都是在圆上，由曲线与方程的关系可知，方程①是圆的方程。

小结求曲线方程的一般步骤详见教材第36页。

（1）建系、设点；

（2）写点集；

（3）列方程；

（4）化简方程；

（5）说明。

简称：“建设（写）列化（说）”。

教师活动