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案例2 中学数学学科教学案例（第4页）

设计意图通过问题3至问题8引导学生在辨析、归纳椭圆上的点所满足的几何条件基础上，类比圆的定义给出椭圆的定义，充分展示椭圆概念的产生过程。

（三）类比推导椭圆的标准方程

问题9如图4。2。5，已知椭圆的焦距|F1F2|=2到两焦点F1，F2的距离之和为2a，求椭圆的方程。

图4。2。6

图4。2。7

教师①建系、设点：如图4。2。6，以经过椭圆两个焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy。设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c＞0），那么焦点F1，F2的坐标分别为F1（－c，0），F2（c，0）。

②写点集：由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}。

两边平方，得a4－2a2cx+c2x2=a2（x－c）2+a2y2。

整理，得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），

由椭圆的定义可知，2a＞2c，即a＞c，所以a2－c2＞0。

⑤说明：从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解（x，y）为坐标的点到椭圆的两个焦点F1（－c，0），F2（c，0）的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫作椭圆的标准方程。它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（－c，0），F2（c，0），c2=a2－b2。

问题11如图4。2。8，已知椭圆的焦距|F1F2|=2到两焦点F1，F2的距离之和为2a，求椭圆的方程。

图4。2。8

图4。2。9

（四）例题研讨，变式训练

例题已知椭圆焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10，求椭圆的标准方程。

（五）达标检测题

1。写出适合下列条件的椭圆标准方程。

①a=3，b=1，焦点在x轴上。

④a+c=10，a－c=4。

（六）归纳小结，形成知识结构

在小结回顾本节课所学内容的基础上填写表4。2。1

表4。2。1

续表

四、评析

本节课按照萝岗区倡导的“六要素”教学方式，设计了比较恰当的符合玉岩中学学生实际的知识、能力、情意目标。学生在教师组织、引导下的主动、能动、互动过程，向听课者诠释了新课程的教学理念与教学要求，有效地达成了本节课的教学目标。

本节课的第一个亮点是通过精心设计的11个问题，引导学生在独立思考、探究的前提下自主建构椭圆概念，通过类比圆的标准方程推导过程引导学生自主推导椭圆的标准方程；

本节课的第二个亮点是《几何画板》课件很直观地演示了椭圆的生成过程，有效地促进了学生对椭圆概念的自主构建，教师通过演示课件启发、引导学生在课堂上自主探究、合作学习，有效地突破了教学难点；

本节课的第三个亮点是全体学生都能在11个问题驱动下积极主动地参与教学过程，思维参与度高，不仅积极主动、互动过程中还有能动的可喜表现，例如：学生1给出了问题1证明一，学生2给出了问题1证明二，二人的准确回答赢得了全班学生自发而热烈的掌声。

“没有最好的课，只有更好的课”。管老师本节课的遗憾之处是：“创设问题情境，激活已有认知结构”环节占用的教学时间较多，主要原因是玉岩中学的教学平台不方便教学。